二重回転円筒水槽における波動現象の研究

〜水面運動の定量化と運動パターンの分類〜

2015年3月

気象研究室 修士2年 舛田あゆみ


背景・目的

地球大気には、極と赤道の温度差を解消するために傾圧不安定波が発生している(図1)。

図1:500hPa高度面における高度分布図(南半球)中緯度で波数4の波動が発生

回転水槽実験は、地球大気中の傾圧不安定波を室内実験で再現し、
発生した波動を研究する実験として1940年代頃から行われている。

これまでの先行研究によって、回転水槽内に発生する波動は
目視で分類されてきた(図2)。

図2:先行研究での目視による波動の分類

1965年には、回転水槽実験の創始者ともいわれるFowlisとHideによって
回転水槽中に発生する波動形態を表す模式図である
Regime Diagram (図3)が報告された。

図3:Regime Diagram 図4:熱ロスビー数Θ テイラー数Ta


これまでの研究の問題点と、本研究の目的は下の表に示す。

過去の研究の
問題点

・水槽の中で発生する水面運動の定量化が困難

本研究の目的
・現代の科学技術を用いて
複雑な波動を含むすべての水面運動を定量的に理解し
運動パターンを客観的に判断すること


実験手法

パラメータ

温度傾度 5℃〜35℃ (5℃毎)
回転速度 1rpm〜12rpm (1rpm毎)
流体水深 2p〜10p (2p毎)

図5:二重回転円筒水槽 図6:水槽の仕組み

図5は、本研究で使用した二重円筒回転水槽である。

中央に設置してある水槽は、図6のように3層に分かれている。
外側に温水、内側に冷水を流し、中央に挿入する試験流体に温度傾度を与える仕組みになっている。

実験パラメータは、温度傾度・回転速度・流体水深の3つである。
実験は一回30分で区切り、3つののパラメータを変化させながら計420回実験を行った。


解析手法

ツール

EDIUS6 発生した波動をデジタル映像として記録
PIV 粒子の動きを速度に変換し、流体を可視化・数値化

図7:PIV解析 (4p-dt20-8rpm)

Particle Image Velocimetry(PIV)は流体を可視化する手法の一つである。
図7のように、記録した実験映像にPIV解析を施し実験波動の流速を数値化した。


運動エネルギー量の算出

筆保ほか(2014)は、PIVで得られた水面の運動場から、運動エネルギー(KE)を以下の式(1)で算出した。

KE=1/2(u^2+v^2)    (1)

式(1)のuは円筒座標系の接線方向の速度、vは動径方向の速度である。
またKEは、軸対称成分の運動から算出した平均流運動エネルギー(MKE)と
、非軸対称成分の運動から算出した渦運動エネルギー(EKE)に分解した。

MKE=1/2(u^2+v^2) (2)

EKE=1/2(u^2+v^2) (3)

式(2)の上付きバーがそれぞれの運動の軸対称成分
式(3)のプライムが非軸対称成分である。

EKEは、接線方向に平均したものを代表の値として扱う。
このMKEとEKEの和が、ほぼKEになることを確認している。

さらに非軸対称成分の運動を、フーリエ解析を用いて、接線方向で波数分解を行った。
例えば非軸対称成分の接線方向の運動を波数分解すると、

u’= u_(λ=1)+u_(λ=2)+u_(λ=3)+・・ (4)

と表される。式(4)のλは波数を指す。
この波数別の非軸対称成分から、波数別EKEが算出される。
例えば、波数3の非軸対称成分から求まる運動エネルギー量EKE3は、

EKE3=1/2(u_(λ=3)^2+v_(λ=3)^2) (5)

となる。EKE1からEKE9まで計算し、EKEからの残差をEKE10以上の高次波EKEとする。

事例解析の結果

統計的な解析結果を示す前に、まずいくつかの事例の速度場や
運動エネルギーの結果を報告する。

図8:高感度カメラで撮影された水面の画像。
実験条件が水深4p、水平温度傾度20度、回転速度1rpm〜12rpm。
一段目左から1〜4rpm、2段目左から5〜8rpm、3段目左から9〜12rpm。
図9:(a)(c)(e) PIV解析による実験開始11分後の流線と(b)(d)(f)速度の分布図。
水深4p、水平温度傾度20度、(a)(b)2rpm実験、(c)(d)6rpm実験、(e)(f)11rpm実験。
図10:水深4p、水平温度傾度20度、回転速度6rpm実験の半径22-44mmで平均した相対渦度のホフメラー図。

速度分布

図8は、水深4p、水平温度傾度20℃の実験で、回転速度1rpm(1分間に回転する回数を示す単位)
実験から12rpm実験までの高感度カメラで撮影された画像である。
水面の流れに乗ったアルミ粉末のパターンから、1rpm実験から4rpm実験は波動の発生していない軸対称運動であること
5rpm実験から8rpm実験までは比較的規則的な波動が発生していることが目視により認識できる。
そして、9rpmになると波動の形がいびつになり、10rpm以上では複雑な水平方向の波動が発生している。
これらの実験の中から、軸対称運動と認められる2rpm実験、非軸対称運動のなかでも規則運動として6rpm実験
不規則運動として11rpm実験を例とし、PIVの結果を示す。

図9は、(a)(b)2rpm実験、(c)(d)6rpm実験、(e)(f)11rpm実験のPIVによる実験開始
11分後の(a)(c)(e)流線と(b)(d)(f)速度分布である。
2rpm実験の流線図では流線の蛇行がなく、円周運動が持続している。
速度は、中央水槽の真ん中付近で約9.0mms-1と最大値をとり、実験槽内側で約0.5mms-1、外側で約5.3mms-1である。
一方6rpm実験は、波数3の波動運動が発生したのち、波形・振幅・波数を一定に持続した実験である。
流線は規則的に蛇行し、速度はその波形領域で最大となっている。その速度は約7.5mms-1である。
11rpm実験は、目視では波数を同定できない複雑な乱流運動が発生した実験である。
流線は規則性のない蛇行を示し、流速分布は波動領域で速くなっている。

図10は、波数3の定常波が発生した6rpm実験の相対渦度の分布から得られるホフメラー図である。
実験層の中央付近である、内側から22-44mmで平均した相対渦度の値を使用している。
本研究では、この半径の幅で平均した量を、その水面運動の代表値として用いている。
第10図の結果から、正渦度域が水槽の回転方向にほぼ同じ速度で進んでいることがわかる。
つまり、波数3の定常波の位相は、水槽の回転よりも速く動いている。この渦度の時間変化から
ある地点の時間方向にフーリエ解析を行った結果、波数3の位相の角速度は8.4×10-2rads-1であった。
2rpm実験や11rpm実験では、規則的な波動が発生していないため、このような規則的な位相の移動は得られなかった。

運動エネルギーの時間変動

図11:半径22-44mmで平均した(a)(c)(e) KE、MKE、EKEの時間変化と、(b)(d)(f)波数別EKEの時間変化。
水深4p、水平温度傾度20度、(a)(b)2rpm、(c)(d)6rpm、(e)(f)11rpm。実線はKE、破線はMKE、点線はEKE。

図11(a)(c)(e)は、半径22-44mmで平均した全運動エネルギーKE
平均流運動エネルギーMEK、渦運動エネルギーEKEの時間変化である。
図11(a)2rpm実験では、KEが約40.0×10-6m2s-2、MKEが約35.0×10-6m2s-2、EKEが約5.0×10-6m2s-2であり
その時間変化はとても小さく、MKEがEKEに比べて約一桁大きい。

第11図(c)6rpm実験では、KEが約7.0×10-6m2s-2、MKEが約4.0×10-6m2s-2、EKEが約3.0×10-6m2s-2で、
EKEの方がMKEよりも約2倍大きい。
図11(e)11rpm実験 は、6rpm実験や2rpm実験と比較するとわずかに時間変化がみられるが
KEが約3.4×10-6m2s-2、MKEが約1.7×10-6m2s-2、EKEが約1.7×10-6m2s-2で概ね一定である。
図11(b)(d)(f)は、それぞれの実験の波数別EKEの時間変化である。
図11(d) 6rpm実験を見ると、EKE3が約3.0×10-6m2s-2で最も大きく、
次いでEKE6が約0.7×10-6m2s-2で大きい。それぞれのエネルギーの時間変化は小さい。
図11(b) 2rpm実験では、6rpm実験とは異なり、卓越するEKEは見られず、
エネルギー量は1.0×10-6m2s-2以下で、非常に小さい。
図11(f)11rpm実験は、他の実験とは異なり、EKEは時間変動し、
ある時間によって卓越する波数別EKEは異なっている。
実験開始17分後から18分過ぎにかけてはEKE2が約0.7×10-6m2s-2で卓越し、
19分ごろでは卓越する波数別EKEは見られなくなる。

しかし、再び20分後からEKE2が卓越し始め、21分後に約1.0×10-6m2s-2で最大値をとっている。
この時、EKE5も変動しており、約0.5×10-6m2s-2とEKE2に次いで大きくなっている。
このように、波数別EKEは不規則に時間変化している。

時間平均運動エネルギーの割合

図12:図8で示した実験の時間平均した各運動エネルギー量を、全KEの中での割合で示した円グラフ。
円グラフの真上から時計回りにMKE、波数1〜9EKEと波数10以上の高次波EKEの占める割合を示す。

上記の結果より、どの実験もKE、MKE、EKEの時間変化は小さい。
図11(f)11rpm実験で、波数別EKEの時間変化が表れたが、他のほとんどの実験の運動エネルギーの時間変化が小さいこと、
実験数が多くレジーム・ダイアグラムを用いて運動状態の議論が可能なことを考慮し
平均する時間は、その実験の全体の推移をとらえている実験開始15分後からおよそ10分間の時間平均の値を用いる。

図12の円グラフは、各エネルギーのKEに占める割合を表している。
回転速度の変化により、MKEとEKEの割合が変化する。5rpm実験のEKEの最も大きい波数は2、次いで4である。
一方、6rpm実験から8rpm実験では卓越波は波数3、次いで6となっている。この解析から求められる卓越する波数は
目視で確認できる卓越波(波数M)とその高調波(2M)であることを定量的に検出した。
また、それらの実験では、サイドバンド(波数M±1)のEKEと長波(波数1)のEKEは無視できるほどに小さい点が共通している。
この結果は、Tamaki and Ukaji(1985)で報告されたバシレーション状態下にある帯状平均温度場の傾向と一致していた。
その卓越波のEKEと高調波のEKEが他のEKEと比べて大きくなる傾向は、9rpm以降の実験では変わってくる。
回転速度が大きい実験では、卓越した波数エネルギー量が見られなくなる。例えば10rpm実験では、EKE2が14%、EKE3が10%、
EKE4が13%を占め、それぞれ隣り合う波数エネルギーの割合も大きい。目視で複雑に見える不規則運動は、
定量的にも特定の卓越する波数エネルギーが存在しないことが示された。
また、1rpm実験から4rpm実験は共通してMKEと高次波のEKEが最も大きな割合を占めている。
EKE1からEKE9の占める割合は非常に小さくなっている。


運動エネルギーを用いた統計解析

本研究では、約400回の回転水槽実験を行い、それぞれに前章の解析を施した。
それぞれの実験条件により、定量的な解析結果がどのような傾向を示すかを統計的に検出する。

運動エネルギーの傾向
図13:全解析結果の時間平均KEを(a)回転速度、(b)水平温度傾度、(c)水深毎に示した散布図。
図14:図13と同じ。MKEの散布図。
図15:図13と同じ。EKEの散布図。

図13は、全解析結果の時間平均KEを、それぞれ回転速度・水平温度傾度・水深毎に示した図である。
図13(a)を見ると、KEは回転速度2rpmから4rpm付近で約75.0×10-6m2s-2の最大をとり、回転速度が増加するに伴って減少し、
9rpm付近で約30.0×10-6m2s-2で推移する。1rpmを除き、回転速度が小さい程、KEは大きくなるという傾向がある。
図13(b)では、水平温度傾度5度から10度でKEは小さく、15度以上で大きくなる。
また図13(c)では、水深の違いによるKEの明確な差は見られない。

図14は、全解析結果の時間平均MKEを、それぞれ回転速度・水平温度傾度・水深毎に示した図である。
図14(a)を見ると、KEと同じくMKEは回転速度2rpmから4rpm付近で約70.0×10-6m2s-2の最大をとり、
回転速度が増加するに伴って減少し、9rpm付近で約15.0×10-6m2s-2で推移する。
1rpmを除き回転速度が小さい程、MKEは大きくなる。第7図(b)では、水平温度傾度15度以上からMKEが大きい。
図14(c)では、KE同様、水深の違いによるMKEの明確な差は見られない。

図15は、全解析結果の時間平均EKEを、それぞれ回転速度・水平温度傾度・水深毎に示した図である。
図15(a)を見ると、KEやMKEとは少しずれて、EKEは回転速度4rpmから5rpm付近に約40.0×10-6m2s-2の最大があり、
回転速度が増加するに伴って減少し、7rpm付近で約18.0×10-6m2s-2の値で一定に推移する傾向がある。
図15(b)では、水平温度傾度が増加するにつれてEKEが増加する傾向が見られる。KEやMKEと異なり、
流体に与えられる水平温度傾度が大きい程、渦運動EKEは増加する結果を示している。
また、図15(c)では、水深が6pと8pで約30.0~40.0×10-6m2s-2の値をとり、他の水深では小さい。
水深の変化は、EKEに影響を及ぼすことが示された。


運動エネルギーの比率の傾向
図16:回転速度毎にKEに占める(a)MKE、(b)卓越波数(M)のEKE、(c)サイドバンド(M±1)のEKEの割合。

図16(a)は、時間平均したKEのなかのMKEが占める割合、(b)はEKEのなかでも卓越波のEKE割合、
(c)は卓越波のとなりのサイドバンドのEKE割合を表した散布図である。
サイドバンドは、両側あるうちの割合が大きい方を選んでいる。第9図(a)より、回転速度が
1rpmから3rpm付近では100%に近い。6rpm以上で80%以下となり、回転速度が増加するにつれて減少し、
7rpmから8rpmで、平均的に約40%まで減少した結果となる。8rpmを境に、回転速度が増加すると、
KEに占めるMKEの値は増加に転じている。5rpm以上の同一の回転速度で比較すると、
KEに占めるMKEの割合は、条件によって40%から80%と差が大きくなる。

図16(b)のKEに占める卓越波のEKE割合は、回転速度が1rpmから2rpmの実験では数%である。
3rpmの実験から回転速度が増加するにしたがって、KEに占める卓越波のEKE割合が増加し、
6rpmから8rpm付近で卓越波のEKE割合が約40%と最も大きくなっている
8rpmを境に、回転速度が増加すると、徐々に減少する傾向がある。

サイドバンドのEKE割合の傾向を図16(c)で見ると、1rpmから5rpmの実験ではサイドバンドは数%を占めている。
回転速度が6rpm以上になるとサイドバンドのEKE割合が増加し、最も大きな値で13%を占めている。
図16(b)と(c)を比較すると、実験により差はあるが、
卓越波の支配率はサイドバンドの支配率よりも数倍は大きいことが示された。


考察

回転流体運動の定量的な分類

これまでの結果で示したように、時間平均した全KEのなかでのMKEや波数別EKEの割合は
その水面運動パターンを特徴づけるのに有効である。
そこで本研究は、この統計的な結果を基にして、運動エネルギー比率の解析を用いた以下のような定量的定義を設けた。

軸対称運動 KEに占めるMKEが80%以上。
非軸対称運動で規則運動 EKEが20%以上で、サイドバンドのEKEが5%以下であり、卓越波数のEKEが顕著である。
非軸対称運動で不規則運動 EKEが20%以上で、卓越波数のサイドバンドのEKEが5%未満である。

この定量的定義により、本研究で行った実験結果を客観的に分類することができた。
軸対称運動が109ケース、規則運動が184ケース、不規則運動が127ケースである。
この分類結果については、実験条件によっては省略した実験もあるため正確な議論はできないが、
本研究で行った実験条件の領域であれば規則運動が最も多く現れた。

表1:実験条件ごとに運動パターンを示した図表。縦軸が温度傾度、横軸が回転速度で
左側上から下へ2p、4p、6cm、右側上から下へ8p、10pの水深である。
×は軸対称運動。○は規則運動、中の数字は卓越波数。△は不規則運動。

実験条件ごとに運動パターンをみると、表1のようにまとめられる。
表1を見ると、水深の変化に関わらず、回転速度が増加するにつれて、
軸対称運動、規則運動、不規則運動と運動パターンが変化する。
軸対称運動と規則運動、規則運動の波数2(表1のA)と波数3(B)の間に不規則運動が見られる。
これは、卓越波数が変わるような運動状態の遷移領域で発生した揺らぎのある運動を、
本研究の定義では不規則運動と同定したと考えられる。

そのため、波数3(B)より回転速度の大きな条件下で発生した乱流的な不規則運動(△)とは性質の異なる運動とも考えられるが、
本研究ではまとめて不規則運動と定義した。また、水深4p、水平温度傾度20度、回転速度1rpmの実験(第1図の左上図)は、
MKEと高次波のEKEが最も大きな割合を占めている点は他の軸対称運動と共通しているが、定義に基づくと不規則運動に分類された。
これは高次波のEKE割合が大きく、波数1から9のEKEが数%ずつ存在したことが原因である(第5図左上)。
この実験も乱流的な不規則運動(△)とは、性質の異なる運動とも考えられるが、本研究ではまとめて不規則運動と定義した。


レジーム・ダイアグラムとの対応

図17:Fowlis and Hide(1965)のレジーム・ダイアグラム上に
本研究で定量的に分類した実験結果をプロットして比較した図。
本研究の定義に基づくと×は軸対称運動、2は規則運動で卓越波数2、
3は規則運動で卓越波数3、△は不規則運動に分類。

図17はFowlis and Hide(1965)のレジーム・ダイアグラム上に、
本研究で定量的に解析した実験結果をプロットして重ねた図である。
無次元パラメータの算出は、Fowlis and Hide(1965)の式を使用している。
図17では、図の左上から右下に向かって、運動状態が軸対称流運動、
規則的運動、不規則運動へとおおまかに遷移している。
これは先行研究で報告されたレジーム・ダイアグラムの傾向と一致している。
図17のレジーム・ダイアグラム上の線が本研究のプロットと重ならないため比較が難しいが、
軸対称運動と非軸対称運動の遷移領域がおおむね一致していることが分かる。

いくつかの実験は、非軸対称運動領域の中で、規則運動と不規則運動がほぼ同じ領域に分布している結果となった。
これは、波動パターンの遷移領域(ヒステリシス領域)で発生した運動を不規則運動に分類したことが原因の1つだと考えられる。
また、先行研究と整合性が高い実験は、水深2、4、6p、水平温度傾度5、10、15℃の実験であった(図なし)。
実験条件において水深が8p以上、水平温度傾度が20度以上になると、先行研究のダイアグラムと不整合な結果が増加した。
回転速度による不整合への影響は見られなかった。


波動の位相速度
図18:規則運動の位相速度を回転速度毎にプロットした散布図。

図10のホフメラー図で示したように、規則運動は、
波動が波形をほぼ変えずにある一定の位相速度をもって実験の回転方向に移動している。
他の規則的運動の結果からも、同様に位相速度を算出した。
第11図は、その規則運動の位相速度を回転速度毎にプロットした図である。
波動の位相速度は、0.3×10-2〜22.0×10-2rads-1の間の値をとり、
平均位相速度は6.9×10-2rads-1となった。
位相速度は、4rpmから6rpmに位相の角速度の最大があり、
回転速度が増加するにつれて位相速度が減少する傾向が見られた。
Eady理論によると、傾圧不安定波の位相速度は平均場の流速と関係がある。

図19:平均流速と波動の位相角速度の散布図。●は波数2、×は波数3。

図19は、実験槽の中央付近である22-44oの半径で平均した流速と、波動の位相角速度の散布図である。
規則運動全ての結果を見ると、両者の関係性は小さい(相関係数0.14)。
しかし、卓越波数2と3の実験で分けて見ると、波数3については関係性が小さい(相関係数-0.22)が、
位相速度が大きい波数2には関係性がみられた(相関係数0.41)。
切片を0とした近似線の傾きは0.73であり、理論上の傾き0.5とほぼ一致する。

平均流速の算出方法は平均する半径の幅を様々試したが、どの場合も同様の結果を得た。



まとめ

本研究では、二重回転水槽を用いて回転速度・水平温度傾度・水深の実験条件を変えて約400回の実験を行った。
そして最新のPIVにより、全ての実験の水面運動を定量化した。

筆保ほか(2014)の解析手法を用いて時間平均をした各運動エネルギーを算出し
KEの中でのMKEやEKEの比率を見積もった。

さらに、それらの結果から定量的な定義を作り、水槽実験の水面運動のパターンを分類した。
本研究の結果は以下のようにまとめられる。

(1) 全ての実験でKE、MKE、EKEの時間変化は小さく、概ね一定の値で推移する。
(2) 回転速度が小さい程、流体に与えられる水平温度傾度が大きい程、KE、MKE、EKEは増加する。
水深と運動エネルギー量の関係は小さい。
(3) MKEや波数別EKEのKEに占める割合を調べると、軸対称運動はMKEが大きく
規則運動は卓越波とその高調波のEKEの割合が大きい。
また、不規則運動は、サイドバンドのEKEも大きく卓越波数が顕著ではない。
(4) 本研究で定量的に定義した分類によると、その実験結果の分布は
先行研究のレジーム・ダイアグラムと概ね一致していた。
しかし、いくつかの実験は規則運動と不規則運動が同じ領域に分布する結果となった。
(5) 波動の位相速度は0.3×10-2〜22.0×10-2rads-1の間の値をとり
平均位相速度は6.9×10-2rads-1となった。
位相速度は4rpmから6rpmで位相速度が大きくなり
回転速度が増加するにつれて位相速度が減少する傾向が見られた。




今後の課題


今後は、本研究では不規則運動に分類した、遷移領域で発生した揺らぎのある運動の分類
時間変化する水面運動を理解することが課題である。

また、サーモグラフィーを用いた高解像度の温度場も測定が可能なので
定量化した運動場と合わせて、熱輸送等の議論も行う。
さらに、レーザー等を用いて、水面下の運動場も検出する予定である。



謝辞


本研究で使用した二重回転円筒水槽は、福井県立大学田島俊彦教授より譲り受け
(株)富士機設工業様に特別に設置・設計していただきました。
PIV解析において西野耕一教授にご教授を賜りました。
また、乙部直人教授、佐藤正樹教授、三村和男教授、酒井敏教授、佐藤元氏には
回転水槽実験について大変有益なご助言を頂きました。
感謝申し上げます。


2015年3月